福建師范大學《數學分析與實變初步》2011年考研大綱

　　《數學分析與實變初步》命題范圍和題型
　　一、命題原則(含范圍)：命題主要依據《數學分析》（上、下冊，復旦大學陳紀修，於崇華，金路等編）、《數學分析中的典型問題與方法》（裴禮文編）和《實變函數與泛函分析概要》（第一冊，南京大學鄭維行、王聲望編，第三版），重點考查考生的基本能力、實際應用能力和創造力，其中《數學分析》120分，《實變函數》30分，具體內容如下：
　　（一）函數、極限與連續
　　數列和函數極限的計算以及有關問題的討論；無窮小量階的比較；實數完備性理論及其應用；函數的連續性，閉區間上連續函數的性質（有界性、比較大值和比較小值定理、介值定理、根的存在定理），并會應用這些性質。
　　（二）導數及其應用
　　函數可導性的研究，微分中值定理及其應用，利用導數研究函數的性質（單調性，凹凸性等）以及導數的應用（極值、比較大值和比較小值等）。
　　（三）積分及其應用
　　不定積分和定積分的計算，定積分的性質，定積分中值定理以及變上、下限的積分，定積分的應用；無窮限廣義積分的概念、性質及其收斂的判別法；含參量正常積分的概念及其性質，含參量正常積分定義的函數的連續性、可微性和可積性。
　　（四）級數
　　數項級數的收斂性判別方法（包括正項級數、一般級數等），數項級數收斂的性質;一致收斂的函數項級數表示的函數的連續性、可積性和可微性，并用這些性質去解決有關問題;冪級數的求和、函數的Taylor級數展開等。
　　（五）多元函數的微積分
　　二元函數的重極限和累次極限；二元函數的連續性概念及有界閉域上二元連續函數的性質;多元函數的偏導數、全微分及其性質和應用;二重積分、三重積分、第一、二類曲線與曲面積分的計算，三個重要公式：Green公式、Gauss公式和Stokes公式以及曲線積分與路徑無關性的應用和計算等。
　　（六）點集、Lebesgue測度與可測函數
　　兩集合的對等，集合的基數，集合的可列性；開集、閉集、完全集、稠密集、稀疏集的概念及其性質；點集的內部、導集、閉包、邊界；Cantor三分集的結構和性質；外測度、內測度、測度和可測集的概念及其性質，集合可測性的判別方法；零測度集的概念及其性質；可測函數的概念及其性質；函數可測性的判別方法；可測函數列幾種收斂性之間的關系（包括處處收斂、幾乎處處收斂、一致收斂、近一致收斂、測度收斂）；葉果洛夫定理、里斯定理、魯津定理的含義及應用；
　　（七）Lebesgue積分
　　Lebesgue積分的定義及其性質，并會判斷一個函數是否Lebesgue可積；三大積分收斂定理（勒維定理，法杜定理和Lebesgue控制收斂定理）及其應用；Riemann積分與Lebesgue積分之間的區別和聯系；單調增函數的連續性、可積性和可微性；有界變差函數的概念及其性質，并會利用全變差的可加性和單調函數全變差公式來求一個函數的全變差；絕對連續函數的概念及其性質，并會利用牛頓--萊布尼茲公式判斷一個函數是否絕對連續。
　　二、題型及各題型分數比例：選擇題(5小題，每小題4分，共20分)、填空題（8小題，每小題4分，共32分）、計算題（3題，共45分）、證明題（5題，共53分）等，滿分150分.