09年高考數(shù)學(xué)函數(shù)試題選編答案

2009-02-19 11:07:33 來(lái)源：

　　一、構(gòu)造一次函數(shù)

　　例1對(duì)于滿足0≤P≤4的所有實(shí)數(shù)P，使不等式x2+px>4x+p-3都成立的綿取值范圍是____

　　解：原不等式化為：x2+(x-1)p-4x+3>0

　　設(shè)f(p)=(x-1)p+x2--4x+3

　　問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求使f(p)>0的取值范圍

　　∵x-1≠0(否則原不等式不成立)

　　∴f(p)為一次函數(shù)，要便f(p)在0≤p≤4內(nèi)恒大于0，則有f(0)>0f(4)>0

　　x2-4x+3>0x2-1>0

　　解得：x<-1或x>3

　　例2已知|a|<1、|b|<1、|c|<1，求證ab+bc+ac+1>0

　　證明：將字母a作為變?cè)�，�?gòu)造函數(shù)

　　f(x)=(b+c)x+bc+1

　　只證|x|<1時(shí)f(x)>0

　　而f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)>0

　　f(-1)=-b-c+bc+1=(b-1)(c-1)>0

　　且f(x)是有單調(diào)性

　　∴-1
　　即|a|<1時(shí)，f(a)=ab+bc+ac+1>0成立.

　　評(píng)析構(gòu)造函數(shù)法解題的思維過(guò)程具有一定靈活性和創(chuàng)造性，運(yùn)用此法解題不僅需要掌握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，而且具有較強(qiáng)的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。以上兩例通過(guò)巧妙地選擇變量構(gòu)造一次函數(shù)，從而達(dá)到解題目的。

　　二、構(gòu)造二次函數(shù)

　　例3(1993高考題)已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+ax+b=0有二實(shí)根α、β，且2|a|<4+b|b|<4求證|α|<2.|β|<2

　　證明：構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b與x軸交于兩點(diǎn)A(α0)、B(β0)只需證A、B在(-22)內(nèi).即證f(-2)>0f(2)>0頂點(diǎn)橫坐標(biāo)|x0|<2即可.

　　事實(shí)上：2|a|<4+b即4±2a+b>0即f(2)>0f(-2)>0

　　又|b|<4∴|a|<2+|b|2<4∴|x0|=|-a2|<2

　　∴A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)α、β滿足|α|<2|β|<2.

　　例4已知a、b、c、d、e∈R且滿足a+b+c+d+e=8

　　a2+b

　　2+c

　　2+d

　　2+e

　　2=16，求e的最大值.

　　解構(gòu)造二次函數(shù)

　　y=4x2+2(a+b+c+d)x+(a2+b

　　2+c

　　2+d

　　則y=(x+a)2+(x+b)2+(x+c)2+(x+d)2≥0

　　由于二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向上，且圖像上的點(diǎn)都在x軸及其上方.

　　△=4(a+b+c+d)2-16(a2+b

　　2+c

　　2+d

　　2)≤0

　　△=(8-e)2-16(16-e2)≤0

　　∴0≤e≤165故e的最大值為165

　　評(píng)析構(gòu)造二次函數(shù)可借助其判別式、韋達(dá)定理及函數(shù)圖像來(lái)幫助分析解題。運(yùn)用構(gòu)造二次函數(shù)方法解題，要求細(xì)心觀察，廣泛聯(lián)想，弄清條件與結(jié)論的關(guān)系，還要分析各類知識(shí)之間在思想、結(jié)構(gòu)、方法等方面的聯(lián)系。

　　三、構(gòu)造高次函數(shù)

　　例5已知x∈R、y∈R且(4x+y)9+x

　　9+5x+y=0

　　求5x+y的值.

　　解：(4x+y)9+4x+y=-x9-x

　　構(gòu)造函數(shù)f(t)=t9+t則f(4x+y)=-f(x)

　　又f(-t)=-f(t)∴f(t)是R上的奇函數(shù)

　　又∵f(4x+y)=-f(x)=f(-x)

　　∴4x+y=-x∴5x+y=0

　　四、構(gòu)造其它函數(shù)

　　例6求證：n≥3n∈N時(shí)，(n+1)n
　　n+1

　　證明：兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)n1n(n+1)<(n+1)1nn(n≥3)

　　即1n(n+1)

　　n+1

　　<1nnn

　　構(gòu)造函數(shù)f(x)=1nxx問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明f(x)在3，∞)上是減函數(shù)即可.

　　而f'(x)=1-1nxx2<0(x≥3>e).即問(wèn)題獲證

　　例7已知x∈R確定x2+x+1√-x2-x+1√的取值范圍.

　　解構(gòu)造函數(shù)

　　f(x)=x2+x+1√-x2-x+1√

　　=(x+12)2+(3√

　　)2√-(x-12)2+(3√

　　)2√

　　設(shè)A(x3√2

　　)B(-120)C(120)

　　則|AB|=(x+12)2+(3√

　　-0)

　　2√

　　|AC|=(x-12)2+(3√

　　-0)

　　2√|BC|=1

　　由三解形法則有|f(x)|=||AB|-|AC||
　　∴-1
　　構(gòu)造函數(shù)的解題方法給學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)與發(fā)展提供了一個(gè)廣闊空間，需要不斷去探索、總結(jié)、發(fā)展。教師在教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試、主動(dòng)參與、積極探討，讓他們?cè)谟^察、分析、思考與運(yùn)用中不斷提高。

　　談﹃構(gòu)造函數(shù)﹄的解題策略蒼溪中學(xué)鮮彩霞

　　1、a=0時(shí)，區(qū)間(-∞，0)內(nèi)減，(0，+∞)內(nèi)為增；a>0時(shí)，區(qū)間(-∞，-2a)、(0，+∞)內(nèi)為增，區(qū)間(-2a，0)內(nèi)為減；a<0時(shí)，在區(qū)間(0，-2a)內(nèi)為增，在區(qū)間(-∞，0)、(-2a，+∞)內(nèi)為減。

　　2、(1)問(wèn)f(x)max=0

　　3、x=log23

　　4、ymin=0ymax=ln2-14

　　5、(1).f(12i)=1

　　2i(i=12…)

　　(2).S(k)=23(1-k

　　4)，定義域?yàn)?
　　當(dāng)k=1時(shí)取最小值為12.

　　6、(1).A=(-∞1)∪1+∞)

　　(2).a的取值范圍是(-∞2)∪121).

　　7、(1).f(-1)=2是極大值，f(1)=-2是極小值.

　　(2).切線方程為9x-y+16=0

　　8、(1).f(x)在區(qū)間(-∞-1)(1+∞)是增函數(shù)；在區(qū)間(-11)上是減函數(shù)，x=-1處取極大值，f(-1)=2.