09年高考數學考試內容：不等式 (1)

不等式
　　考試內容：
　　不等式。不等式的基本性質。不等式的證明。不等式的解法。含絕對值的不等式。
　　考試要求：
　　(1)理解不等式的性質及其證明。
　　【導讀】不等式的性質是不等式的理論支撐，其基礎性質源于數的大小比較。要注意以下幾點：
　　1.加強化歸意識，把比較大小問題轉化為實數的運算；
　　2.通過復習要強化不等式“運算”的條件。如a＞b、c＞d在什么條件下才能推出ac＞bd；
　　3.強化函數的性質在大小比較中的重要作用，加強知識間的聯系；
　　4.不等式的性質是解、證不等式的基礎，對任意兩實數a、b有a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b，這是比較兩數(式)大小的理論根據，也是學習不等式的基石；
　　5.一定要在理解的基礎上記準、記熟不等式的性質，并注意解題中靈活、準確地加以應用；
　　6.對兩個(或兩個以上)不等式同加(或同乘)時一定要注意不等式是否同向(且大于零)；
　　7.對于含參問題的大小比較要注意分類討論。
　　【試題舉例】
　　已知a，b為非零實數，且a<b，則下列命題成立的是(　　)
　　A.a2<b2  B.ab2<a2b  C.1/ab*b<1/a*ab  D.b/a<a/b
　　【答案】C
　　【解析】若a<b<0⇒a2>b2，A不成立；若{ab>0,a<b}⇒a2b<ab2，B不成立；若a＝1，b＝2，則b/a＝2，a/b＝1/2⇒b/a>a/b，所以D不成立，故選C.
　　(2)掌握兩個(不擴展到三個)正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會簡單的應用。
　　【導讀】1.在證明不等式的各種方法中，作差比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數還是負數來證明不等式，其應用非常廣泛，一定要熟練掌握。
　　2.對于公式a＋b≥2√ab，ab≤(a+b/2)2要理解它們的作用和使用條件及內在聯系，兩個公式也體現了ab和a＋b的轉化關系。
　　3.在應用均值定理求最值時，要把握定理成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”.若忽略了某個條件，就會出現錯誤。
　　【試題舉例】
　　如果正數a，b，c，d滿足a＋b＝cd＝4，那么(　　)
　　A.ab≤c＋d，且等號成立時a，b，c，d的取值唯一
　　B.ab≥c＋d，且等號成立時a，b，c，d的取值唯一
　　C.ab≤c＋d，且等號成立時a，b，c，d的取值不唯一
　　D.ab≥c＋d，且等號成立時a，b，c，d的取值不唯一
　　【答案】A
　　【解析】∵正數a，b，c，d滿足a＋b＝cd＝4，∴4＝a＋b≥2√ab，即ab≤4，當且僅當a＝b＝2時，“＝”成立；又4＝cd≤(c+d/2)2，∴c＋d≥4，當且僅當c＝d＝2時，“＝”成立；綜上得ab≤c＋d，且等號成立時a，b，c，d的取值都為2，選A.
　　(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。
　　【導讀】1.在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時，常用分析法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過程。有時問題證明難度較大，常使用分析綜合法，實現兩頭往中間靠以達到證題目的。
　　2.由于高考試題不會出現單一的不等式的證明題，常常與函數、數列、三角、方程綜合在一起，所以在學習中，不等式的證明除常用的三種方法外，還有其他方法，如比較大小。證明不等式的常用方法有：差、商比較法、函數性質法、分析綜合法和放縮法。要能了解常見的放縮途徑，如：利用增或舍、分式性質、函數單調性、有界性、基本不等式及絕對值不等式性質和數學歸納法等。有時要先對不等式作等價變形再進行證明，有時幾種證明方法綜合使用。
　　3.比較法有兩種形式：一是作差，二是作商。用作差法證明不等式是證明不等式中最基本、最常用的方法。它的依據是不等式的基本性質。步驟是：作差(商)→變形→判斷。變形的目的是為了判斷。若是作差，就判斷與0的大小關系，為了便于判斷，往往把形式變為積或完全平方式。若是作商，兩邊為正，就判斷與1的大小關系。【試題舉例】
　　當x∈(1,2)時，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，則m的取值范圍是　　　.
　　【答案】m≤－5
　　【解析】構造函數：f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2].由于當x∈(1,2)時，
　　不等式x2＋mx＋4＜0恒成立。則f(1)≤0，f(2)≤0，即
　　1＋m＋4≤0,4＋2m＋4≤0.解得：m≤－5.
　　(4)掌握簡單不等式的解法。
　　【導讀】1.解不等式的過程，實質上是不等式等價轉化過程。因此在學習中理解保持同解變形是解不等式應遵循的基本原則。
　　2.各類不等式最后一般都要化為一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)來解，這體現了轉化與化歸的數學思想。
　　3.解不等式幾乎是每年高考的必考題，重點仍是含參數的有關不等式，對字母參數的邏輯劃分要具體問題具體分析，必須注意分類不重、不漏、完全、準確。
　　【試題舉例】
　　不等式：x-1/x*x-4>0的解集為(　　)
　　A.(－2,1)  B.(2，＋∞)
　　C.(－2,1)∪(2，＋∞)　  D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
　　【答案】C
　　【解析】不等式：x-1/x*x-4>0，∴x-1/(x+2)(x-2)>0，原不等式的解集為(－2,1)∪(2，＋∞)，選C.
　　(5)理解不等式│a│－│b│≤│a＋b│≤│a│＋│b│.
　　【導讀】1.解含有絕對值的不等式的指導思想是去掉絕對值。常用的方法是：(1)由定義分段討論；(2)利用絕對值不等式的性質；(3)平方。
　　2.絕對值是歷年高考的重點，而絕對值不等式更是常考常新。在考試中要從絕對值的定義和幾何意義來分析，絕對值的特點是帶有絕對值符號，如何去掉絕對值符號，一定要學會方法，切不可以題論題。
　　3.不等式在數學的各個分支中都有廣泛的應用，同時還是繼續學習高等數學的基礎。縱觀歷年試題，涉及不等式內容的考題大致可分為以下幾類：①不等式的證明；②解不等式；③取值范圍的問題；④應用題。
　　【試題舉例】
　　不等式|2x－1|－x＜1的解集是　　　　.
　　【答案】(0,2)
　　【解析】|2x－1|－x＜1⇒|2x－1|＜x＋1⇒－(x＋1)＜2x－1＜x＋1
　　∴{-(x+1)<2x-1,2x-1<x+1}⇒0＜x＜2.

　　(責任編輯：盧雁明)

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