對物理方程正確理解

要點提示：根據題目條件由氣體性質規律列方程求解

W——題目從什么地方入手?

W——我現在在寫什么意思的方程?

W——將得出什么含義的結論?

典型問題：

例題1：一豎直放置且下端封閉、上端開口的玻璃管長96cm，管中用一段長為20cm的汞柱封住長為60cm的空氣柱，外界大氣壓強76cmHg，溫度為300K�，F對管內氣體緩慢加熱，求氣柱溫度至少升高到多少開，水銀才會全部溢出？

　 解：設想最后只有一層水銀封住管口,則此時管內氣體壓強等于外界大氣壓76cmHg,氣柱長度是96cm,根據理想氣體方程 EQ F(PV,T) =C得：

(76 20)×60/300 =76×96/T₂　 則T₂ = 380 K

例題2：在一端封閉、另一端開口的粗細均勻的U形管中，用長為45cm的水銀柱封有一段理想氣體，U形管豎直放置。當溫度為400K時，封閉的空氣柱長度是45cm，溫度是到500K時空氣柱長度是多少?當溫度至少升至多少時，水銀柱將全部從開口端溢出？（已知大氣壓強為75cmHg）

　 解：首先判斷溫度是否到500K時,水平部分管中還存在水銀,可以假設水銀柱剛好全部進入右側豎直管中,設此時溫度為T₀,則空氣柱長度是50cm,由等壓過程可得：

　 EQ F(V,T) = C　 T₀ = EQ F(50,40) ×400K =444 K

　 因為T₀<500K可假設到500K時空氣柱長度是x,則有：

　 初態：P₁= 115 cmHg　 V₁=45 S　 T₁= 400K

　 末態：P₂= (115-x) cmHg　 V₂=(50 x) S　 T₂= 500K

　 根據理想氣體方程 EQ F(PV,T) =C得 x =14.1cm　 則空氣柱長度為64.1cm.

　 設溫度升高到T₃時，管中水銀柱恰好全部從開口端溢出，由理想氣體方程 EQ F(PV,T) =C得：P₁V₁/T₁=P₃V₃/T₃　115×45÷400=75×90÷T₃　

T₃ =521.7K

　 例題3：一端封閉的豎直放置的長L =100cm的細玻璃管，有一段h₀=4cm的汞柱封閉了l₀=90cm長的空氣柱，現在向管中緩慢加入水銀，問最多能加入的水銀柱長度Δh是多少？

　 由波馬定律得：（P₀ h₀）l₀S =（P₀ h₀）（L-h）S

　 80×90=（76 h）（100-h） 得： h² – 24h –400=0

　 h=35cm　　　 Δh=h- h₀= 31cm

　 例題4：面積為S的輕活塞用勁度系數為k的輕彈簧懸掛在容器內，活塞上方與外界相通。開始時，彈簧處于自然狀態，活塞與容器底距離為h，封閉氣體溫度為T₀ 。當溫度升高到T時，活塞與容器底相距為H。分析有可能使H與 EQ R(,T) 成正比的條件，并求比例系數。

例題5：在光滑的兩端封閉且具有兩種截面積的豎直管子中用無伸縮細繩將兩不漏氣、無摩擦活塞相連，活塞間裝有1摩爾理想氣體。上活塞截面積比下活塞截面積大 ，兩活塞總質量為M，外部大氣壓強為P₀，如圖6—9所示。試問要使它們移動距離L，應使活塞間的氣體溫度改變多少？

解析：這是一道熱力學綜合題，關鍵是通過分析上下活塞的受力情況，得出內外壓強的聯系，然后分析管子內封閉理想氣體的變化過程。通過理想氣體的狀態方程，把體積和溫度聯系起來，即可求解�！　　　　　　　　　　�

設上下活塞質量分別為m及M-m，橫截面積分別為S ΔS和S，繩子張力為T，封閉理想氣體的壓強為P。由上、下活塞平衡條件可得：

P（S ΔS）= P₀ （S ΔS） mg T　　　　 　　　　　　 　　　　 （1）

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P₀S T = PS ( M — m)g　　　　　　　　　　　 （2）

（1）、（2）兩式相加，得

P=P₀ EQ F(Mg,S) _{�。�3）}

由（3）式可知封閉理想氣體的壓強在整個過程中都不變，即封閉理想氣體在作等壓變化。設封閉理想氣體溫度為T時的體積為V，T ΔΤ溫度時的體積為V ΔV則由蓋—呂薩克定律得

　　　　　　　 EQ F(V,T) = （V ΔV）÷（T ΔΤ）（4）

由1摩爾理想氣體的狀態方程得 PV =RT （5）

由題意可知理想氣體體積變化量為 ΔV = （S ΔS）L – LS =ΔSL （6）

由（3）（4）（5）（6）式可得：ΔΤ = （P Mg ÷ ΔS）LΔS ÷R

鞏固練習：

1、在一端封閉一端開口、內徑均勻的直玻璃管內，有一段60mm長的水銀柱。當管水平放置達到平衡時，閉端A內空氣柱長140mm，開端B內空氣柱長也為140mm 如圖所示。現將此管輕輕倒轉，使開口向下，然后再豎直地插入水銀槽中，達到平衡時管中閉端A內空氣柱長133mm。設大氣壓為760mmHg，溫度不變。試求槽中水銀進入管中的高度。

2、一端開口的粗細均勻的細玻璃管長30cm，管內有一段5cm長的水銀柱，當玻璃管開口向上豎直放置時，管內水銀上表面離管口2.5cm，如圖所示，將管在豎直平面慢慢地沿逆時針方向轉動，已知大氣壓強為75cmHg．問：(1)轉到水平位置時，管內空氣柱長度是多少?(2)轉到什么位置時，水銀恰好不致流出管口?（角度可用反三角函數表示）

3、．如圖，固定的圓柱形氣缸中，有a、b兩個可無摩擦滑動的活塞將氣體分別封閉在A、B兩部分中．當兩個活塞均靜止不動時，A中氣體的體積是B中氣體體積的3倍，現施水平力向左推活塞a，使之向左移2cm停止，待活塞b也停止移動時，它向左移動了___________cm．

　　(責任編輯：盧雁明)

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