[精華]2005年北京市高考數(shù)學（新課程卷）備考建議

（一） 2005年北京市高考數(shù)學新課程卷命題趨勢預測
（1）五年來（2000年—2004年）其它省市新課程中新增內(nèi)容與高考試題的關(guān)系：為了支持課程改革，促進新增加內(nèi)容的教學，檢查考生對新內(nèi)容的掌握程度，這些新內(nèi)容在新課程試卷中都有涉及。新課程改革增加的新內(nèi)容的考查形式和要求已經(jīng)發(fā)生了變化，向量、導數(shù)已經(jīng)由2001、2002年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題是不可缺少的工具。在新課程試題中，有些題目屬于新教材與舊教材的結(jié)合部，在高考命題時采用新舊結(jié)合的辦法。如函數(shù)的單調(diào)性問題既可以用定義求解也可以用求導求解。另外，函數(shù)、不等式、平面向量、圓錐曲線、概率、直線、平面、簡單幾何體、數(shù)列極限和導數(shù)正在成為高考的新重點。筆者認為上述情況將會對2005年北京市高考數(shù)學新課程卷的命制產(chǎn)生一定的影響。
（2）北京市2004年高考數(shù)學試題與2003年高考數(shù)學試題的難度相當，但壓軸題的難度有所下降，由此可以推測：北京卷高考命題組在吸取了2002年出題過難的教訓的基礎上將會把2005年試題的難度系數(shù)維持在2003年試題的水平上以保證高考試題的連續(xù)性和穩(wěn)定性。另外又由于新課程內(nèi)容的考查要求不會太高，新舊內(nèi)容結(jié)合部的解題方法多種多樣，甚至有的題目考生可以自主選擇（如立體幾何部分）。所以我們有理由相信2005年試題的難度不會太大。
（3）由于2005年是北京市自主命制新課程卷的第一年，所以步伐不會過大。此外，2004年北京市西城區(qū)高二第二學期期末考試的立體幾何試題也從另一個側(cè)面反映出今后高考（北京卷）立體幾何部分的出題方式:設置傳統(tǒng)立體幾何和空間向量兩道試題,讓考生自己任選其中一道作答。
（4）進一步改進對研究性學習課題、實習作業(yè)、數(shù)學實驗（如2002年高考數(shù)學北京卷第16題）的考查方式。
（5）鑒于2004年高考理科綜合（北京卷）考試說明在名稱上發(fā)生的變化，筆者認為：2005高考數(shù)學（北京卷）考試說明的名稱將改為2005年高考數(shù)學（北京卷）考試大綱，當然，這將不僅僅是名稱上的改變，它更向考生提供了一個信息：今后的考試將會嚴格恪守考試大綱的要求，使考生有章可循，把“以綱為綱”落到實處，而不會再像以往那樣出題不著邊際，打著“不拘泥于大綱”的幌子，隨興所至，置考試說明于不顧。
（6）2002年北京市高考數(shù)學的壓軸題取材于2002年廣州市的模擬試題，甚至2002年北京市高考語文的作文的話題都與2001年山東某市模擬試題的作文的話題完全一樣，由此可見，北京市自主命題時并不排斥其它省市命題的先進成果。并且2005年北京市高考數(shù)學又將采取新課程卷，而命題人卻又缺乏經(jīng)驗，故不難想到：使用新教材的省市的高考真題及模擬題將成為北京市高考數(shù)學新課程卷中新增知識內(nèi)容命制的范本。所以筆者就新增知識內(nèi)容的考試內(nèi)容和要求，結(jié)合使用新教材的省市的高考真題及模擬題，給出2005年北京市高考數(shù)學的題型示例：
12.概率與統(tǒng)計��
考試內(nèi)容
離散型隨機變量的分布列。離散型隨機變量的期望值和方差。
抽樣方法。總體分布的估計。正態(tài)分布。線性回歸。
考試要求
（1）了解離散型隨機變量的意義，會求出某些簡單的離散型隨機變量的分布列。
（2）了解離散型隨機變量的期望值、方差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望值、方差。
（3）會用隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本。
（4）會用樣本頻率分布去估計總體分布。（5）了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)。
（6）了解線性回歸的方法和簡單應用。
題型示例：（1）從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有個紅球，則隨機變量的概率分布為
ξ 0 1 2
P
（2）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.
(I) 求所選3人都是男生的概率；
(II)求所選3人中恰有1名女生的概率；
(III)求所選3人中至少有1名女生的概率.
13.極限
考試內(nèi)容
數(shù)學歸納法。數(shù)學歸納法應用舉例。
數(shù)列的極限。��
函數(shù)的極限。極限的四則運算。函數(shù)的連續(xù)性。
考試要求��
（1）理解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題。
（2）了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念（由于此知識點尚屬命題的空白，故預計2005年會加以考查）。
（3）掌握極限的四則運算法則。會求某些數(shù)列與函數(shù)的極限。
（4）了解函數(shù)連續(xù)的意義，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì)。
題型示例：（1） ＝
A. 　　　　　　　　B.1　　　　　　　　C. 　　　　　　　　D.
(x≠0)，
（2）設函數(shù)f(x)= a (x=0). 在x=0處連續(xù)，則實數(shù)a的值為 .
14.導數(shù)��
考試內(nèi)容
導數(shù)的概念。導數(shù)的幾何意義。幾種常見函數(shù)的導數(shù)。
兩個函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)。復合函數(shù)的導數(shù)。基本導數(shù)公式。
利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值。函數(shù)的最大值和最小值。
考試要求
（1）了解導數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義。理解導函數(shù)的概念。（2）熟記基本導數(shù)公式（c，xm（m為有理數(shù)），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的導數(shù)）。掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導法則。了解復合函數(shù)的求導法則，會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)。��
（3）了解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關(guān)系。了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數(shù)在極值點兩側(cè)異號）。會求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。
題型示例：（1）已知函數(shù) ，其中C是實數(shù)，
（I）求f(x)的極大值和極小值；
（II）證明方程f(x)=0的不同實根的個數(shù)不大于3個.
【解】（I）

函數(shù)f(x)的變化情況如下表所示：
x (－∞，－1) －1 （－1，1） 1 （1，+∞）
+ 0 － 0 +
f(x) c+4 c－4

（II）用反證法，若方程f(x)=0的不同實根多于3個，則至少可找到四個不同的實數(shù)
根據(jù)微分中值定理應有 由① 式及x2>x1，知 =0，這表明 =0在區(qū)間（x1 ，x2）中至少有一個實根Q1，同理f(x)=0在區(qū)間(x2,x3), (x3,x4)中分別有實根Q2，Q3，且Q1〈Q2〈Q3，即 =0至少有三個不同的實根.這與（I）的結(jié)果矛盾. ∴f(x)=0的不同實根的個數(shù)不多于3個.