高一數學協方差公式
兩個不同參數之間的方差就是協方差 若兩個隨機變量X和Y相互獨立，則E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述數學期望不為零，則X和Y必不是相互獨立的，亦即它們之間存在著一定的關系。
定義
E[(X-E(X))(Y-E(Y))]稱為隨機變量X和Y的協方差，記作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。
協方差與方差之間有如下關系：
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y)
D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X，Y)
協方差與期望值有如下關系：
COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。
協方差的性質：
(1)COV(X，Y)=COV(Y，X);
(2)COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，(a，b是常數);
(3)COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。
由協方差定義，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y)。
協方差作為描述X和Y相關程度的量，在同一物理量綱之下有一定的作用，但同樣的兩個量采用不同的量綱使它們的協方差在數值上表現出很大的差異。為此引入如下概念：
定義
ρXY=COV(X，Y)/√D(X)√D(Y)，稱為隨機變量X和Y的相關系數。
定義
若ρXY=0，則稱X與Y不相關。
即ρXY=0的充分必要條件是COV(X，Y)=0，亦即不相關和協方差為零是等價的。
定理
設ρXY是隨機變量X和Y的相關系數，則有
(1)∣ρXY∣≤1;
(2)∣ρXY∣=1充分必要條件為P{Y=aX+b}=1，(a，b為常數，a≠0)
定義
設X和Y是隨機變量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，則稱它為X的k階原點矩，簡稱k階矩。
若E{[X-E(X)]^k}，k=1，2，...存在，則稱它為X的k階中心矩。
若E(X^kY^l)，k、l=1，2，...存在，則稱它為X和Y的k+l階混合原點矩。
若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l}，k、l=1，2，...存在，則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩。
顯然，X的數學期望E(X)是X的一階原點矩，方差D(X)是X的二階中心矩，協方差COV(X，Y)是X和Y的二階混合中心矩。
(責任編輯：張新革)
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