用設問梯度巧解數學高考壓軸題
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雙休長假攻數學難關，用設問梯度巧解數學高考壓軸題
高考數學的壓軸題都是由多問構成的，那么各問之間有聯系嗎？這種聯系可以用來解題嗎？答案是肯定的，但我們很多考生往往不去考慮各問之間的聯系，放棄題目的設問給我們的重要提示，或對這樣的聯系挖掘不夠，花大量的精力去考慮單問的解法，這樣做的效果當然是不理想的，下面我們用2009年上海春季高考題來談談問與問之間的聯系，讓考生來體會一下。
2009年上海春季高考第20題：設函數，其中為正整數。
（1）判斷函數、的單調性，并就的情形證明你的結論；
（2）證明：
（3）對于任意給定的正整數求函數的最大值和最小值。
1、命題意圖與背景
以三角函數做為高考的數學壓軸題很少，是一個突破。做為壓軸題，共設置了三小問且難度逐步加大也是命題慣例，出題者正是按這個思路對題目進行設置的，本題對有些學習了導數的考區的學生來講應不算什么太困難，但上海教材里沒有導數，這就突出體現了前面兩小問的重要性，當然這也可以體現出知識面對考生多么重要，這里不談。
2、解法與聯系
解：（1）在上，正弦函數單調遞增，余弦函數單調遞減，所以、在上均為單調遞增的函數。下面證明的單調性：
證明：對于函數，設，且，則因為，所以，故函數在上單調遞增。
評析：顯然，這一問難度小，就是入口寬，方法還多，如可以用的一個遞增區間為來證明等等，極大的增強了學生的信心，平緩考生考場的緊張情緒。
（2）
右邊所以
評析：單獨就這兩問看，難度不大，也沒有什么新意，以為就是考察基本知識點如單調性定義和三角恒等變形及倍角公式，其實這兩個小問除了其自身的考察功能外，更主要是對第三問在解題技巧和思想方法上做提醒、鋪墊，這就是高考壓軸題命題常用的方法。
（3）考慮到這里的對函數的影響，考生很難一下子對任意的去求函數的最值，于是試探試的開始考慮：
當時，函數在上單調增，所以的最大值為，最小值為。
當時，函數，所以得最大值、最小值均為1.
當時，函數在上單調增，所以的最大值為，最小值為。
當時，函數在上單調減，所以的最大值為，最小值為。
評析：考生不可能一直討論下去，必需考慮一般情形！
下面討論正整數的情形：
當為奇數時，對任意的，且由，以及得
所以，所以函數在上單調增，所以的最大值為，最小值為。當為偶數時，
評析：這就是求出了最大值，但最小值呢？這時候我們就應該回到第2問，去想想為什么第2問會有個差式的證明，我們考慮特殊推廣到一般就有了下面的思路。
對于任意的正整數，有所以
評析：這個連續不等式才是題目所以暗示的核心，加上常考的遞推放縮方法我們就找到了這個核心，就找到了突破口。
所以函數的最大值為，最小值為綜上所述，當為奇數時，函數的最大值為0，最小值為，當為偶數時，函數的最大值為1，最小值為
3、小結
由上例可以看出，考生在解答壓軸題時要多考慮問什么有這樣的設問，這樣的設問對我們有什么暗示，在回到難點時可以回頭想想前面的小問，分析聯系去找突破口，當然，本題還有其他更簡單的解法，在這里就不多談，但利用題目的設問去找突破口必需引起考生的重視。
(責任編輯：韓志霞)
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