03年高等數學（二）考試大綱
2003-08-27 15:53:00 來源：中國招生考試在線
高等數學（二）
本大綱適用于經濟學、管理學以及職業教育類、生物科學類、地理科學類、環境科學類、心理學類、藥學類等六個一級學科的考生。
總要求
考生應按本大綱的要求了解或理解“高等數學”中函數、極限和連續、一元函數微分學、一元函數積分學和多元函數微積分初步的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識結構及知識的內在聯系；應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地判斷和證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。
本大綱對內容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次；對方法和運算分為“會”、“掌握”和“熟練掌握”三個層次。
復習考試內容
一、函數、極限和連續
（一）函數
1．知識范圍
（1）函數的概念
函數的定義 函數的表示法 分段函數 隱函數
（2）函數的性質
單調性 奇偶性 有界性 周期性
（3）反函數
反函數的定義 反函數的圖像
（4）函數的四則運算與復合運算
（5）基本初等函數
冪函數 指數函數 對數函數 三角函數 反三角函數
（6）初等函數
2．要求
（1）理解函數的概念，會求函數的表達式、定義域及函數值。會求分段函數的定義域、函數值，會作出簡單的分段函數圖像。
（2）理解函數的單調性、奇偶件、有界性和周期性。
（3）了解函數 與其反函數 之間的關系（定義域、值域、圖像），會求單調函數的反函數。
（4）熟練掌握函數的四則運算與復合運算。
（5）掌握基本初等函數的性質及其圖像。
（6）了解初等函數的概念。
（7）會建立簡單實際問題的函數關系式。
（二）極限
1．知識范圍
（1）數列極限的概念
數列 數列極限的定義
（2）數列極限的性質
唯一性 有界性 四則運算法則 夾逼定理 單調有界數列極限存在定理
（3）函數極限的概念
函數在一點處極限的定義 左、右極限及其與極限的關系 趨于無窮 時函數的極限 函數極限的幾何意義
（4）函數極限的性質
唯一性 四則運算法則 夾逼定理
（5）無窮小量與無窮大量
無窮小量與無窮大量的定義 無窮小量與無窮大量的關系 無窮小量的性質 無窮小量的階
（6）兩個重要極限
2．要求
（1）了解極限的概念（對極限定義中“ ”、“ ”、“ ”的描述不作要求）。掌握函數在一點處的左極限與右極限，以及函數在一點處極限存在的充分必要條件。
（2）了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。
（3）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會用等價無窮小量代換求極限。
（4）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。
（三）連續
1．知識范圍
（1）函數連續的概念
函數在一點處連續的定義 左連續與右連續 函數在一點處連續的充分必要條件 函數的間斷點及其分類
（2）函數在一點處連續的性質
四則運算連續性 復合函數連續性
（3）閉區間上連續函數的性質
有界性定理 最大值與最小值定理 介值定理（包括零點定理）
（4）初等函數的連續性
2．要求
（1）理解函數在一點處連續與間斷的概念，理解函數在一點處連續與極限存在之間的關系，掌握判斷函數（含分段函數）在一點處的連續性的方法。
（2）會求函數的間斷點及確定其類型。
（3）掌握在閉區間上連續函數的性質，會用它們證明一些簡單命題。
（4）理解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數連續性求極限。
二、一元函數微分學
（一）導數與微分
1．知識范圍
（1）導數概念
導數的定義 左導數與右導數 函數在一點處可導的充分必要條件
導數的幾何意義 可導與連續的關系
（2）導數的四則運算法則與導數的基本公式
（3）求導方法
復合函數的求導法 隱函數的求導法 對數求導法
（4）高階導數
高階導數的定義 高階導數的計算
（5）微分
微分的定義 微分與導數的關系 微分法則 一階微分形式不變性
2．要求
（1）理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關系，會用定義求函數在一點處的導數。
（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。
（3）熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法。
（4）掌握隱函數求導法與對數求導法。會求分段函數的導數。
（5）了解高階導數的概念，會求函數的高階導數。
（6）理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數的一階微分。
（二）中值定理及導數的應用
1．知識范圍
（1）中值定理
羅爾（Rolle）中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理
（2）洛必達（L’Hospital）法則
（3）函數增減性的判定法
（4）函數的極值與極值點 最大值與最小值
（5）曲線的凹凸性、拐點
（6）曲線的水平漸近線與鉛直漸近線
2．要求
（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理（知道它們的條件、結論及其幾何意義）。
（2）熟練掌握用洛必達法則求“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”型未定式的極限的方法。
（3）掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區間的方法，會利用函數的增減性證明簡單的不等式。
（4）理解函數極值的概念。掌握求函數的極值、最大值與最小值的方法，會解簡單的應用問題。
（5）會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。
（6）會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線。
（7）會作函數的圖形。
三、一元函數積分學
（一）不定積分
1．知識范圍
（1）不定積分
原函數與不定積分的定義 不定積分的性質
（2）基本積分公式
（3）換元積分法
第一換元法（湊微分法） 第二換元法
（4）分部積分法
（5）一些簡單有理函數的積分
2．要求
（1）理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質。
（2）熟練掌握不定積分的基本公式。
（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡單的根式代換）。
（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。
（5）掌握簡單有理函數不定積分的計算。
（二）定積分
1．知識范圍
（1）定積分的概念
定積分的定義及其幾何意義 可積條件
（2）定積分的性質
（3）定積分的計算
變上限的定積分 牛頓—萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式 換元積分法
分部積分法
（4）無窮區間的廣義積分
收斂 發散 計算方法
（5）定積分的應用
平面圖形的面積 旋轉體的體積
2．要求
（1）理解定積分的概念及其幾何意義，了解可積的條件。
（2）掌握定積分的基本性質。
（3）理解變上限的定積分是變上限的函數，掌握對變上限定積分求導數的方法。
（4）熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。
（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
（6）理解無窮區間的廣義積分的概念，掌握其計算方法。
（7）掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成旋轉體的體積。
四、多元函數微積分初步
1．知識范圍
（1）多元函數
多元函數的定義 二元函數的定義域 二元函數的幾何意義
（2）二元函數的極限與連續的概念。
（3）偏導數與全微分
一階偏導數 二階偏導數 全微分
（4）復合函數的偏導數 隱函數的偏導數
（5）二元函數的無條件極限
（6）二重積分
二重積分的概念 二重積分的性質 直角坐標系下的二重積分計算
2．要求
（1）了解多元函數的概念、會求二元函數的定義域，了解二元函數的幾何意義。
（2）了解二元函數的極限與連續的概念。
（3）理解二元函數的一階偏導數和全微分的概念，掌握二元函數的一階偏導數的求法。掌握二元函數的二階偏導數的求法，掌握二元函數全微分的求法。
（4）掌握復合函數與隱函數的一階偏導數的求法。
（5）會求二元函數的無條件極值。
（6）理解二重積分的概念，掌握二重積分的性質，熟練掌握直角坐標系下的二重積分的計算方式。
考試形式及試卷結構
試卷總分：150分
考試時間：150分鐘
考試方式：閉卷，筆試
試卷內容比例：
函數、極限和連續 約20%
一元函數微分學 約30%
一元函數積分學 約30%
多元函數微積分初步 約20%
試卷題型比例：
選擇題 約15%
填空題 約25%
解答題 約60%
試題難易比例：
容易題 約30%
中等難度題 約50%
較難題 約20%
樣 卷
全國各類成人高等學校招生統一考試
�？破瘘c升本科高等數學（二）試卷
考生注意：根據國標要求，試卷中正切函數、余切函數、反正切函數和反余切函數分別用 表示。
一、 選擇題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個選項
中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內。
1．設函數 在 處連續，則 等于（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
2．下列函數中在 處可導的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函數 在 內是（ ）
A．單調增加 B．單調減少
C．不單調 D．不連續
4．設函數 在區間 內滿足 且 ，則函數在此區間內是（ ）
A．單調減少且凹的 B．單調減少且凸的
C．單調增加且凹的 D．單調增加且凸的
5．設函數 ，則 等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共10個小題，10個空，每空4分，共40分。把答案填在題中橫線上。
6． = ．
7．設函數 ，則 ．
8．設函數 ，則 ．
9．曲線 的拐點坐標是 ．
10．設函數 的 ，則 ．
11．若 ，則 ．
12．設 ，則 ．
13．不定積分 ，則 ．
14．若 ，則 ．
15．若積分區域D是由 圍成的矩形區域，則
．
三、解答題：本大題共13個小題，共90分，解答應寫出推理、演算步驟。
16．（本題滿分6分）
計算 ．
17．（本題滿分6分）
求極限 ．
18．（本題滿分6分）
求極限 ．
19．（本題滿分6分）
設函數 ，其中 可導，求 ．
20．（本題滿分6分）
設函數 ，求 ．
21．（本題滿分6分）
設函數 由方程 確定，試求 ．
22．（本題滿分6分）
計算 ．
23．（本題滿分6分）
計算 ．
24．（本題滿分6分）
計算 ．
25．（本題滿分6分）
設函數 ，求 ．
26．（本題滿分10分）
求函數 的單調區間、極值及此函數曲線的凹凸區間和拐點，水平與鉛
直漸近線．
27．（本題滿分10分）
設
（1）交換二次積分次序，
（2）計算I的值．
28．（本題滿分10分）
已知 ，
證明： ．
參考答案
一、選擇題
1．D 2．B 3．A 4．D 5．B
二、填空題
6． 7． 8． D．
10．2 11． 12．
13． 14． 15．
三、解答題
16．解
．
17．解
．
18．解
19．解 ．
20．解 對等式兩邊取對數得
，
等式兩邊對 求導得
所以
21．解 等式兩邊對 求導得
，
所以 ．
22．解
23．解 設 ，則 ，
所以
．
24．解
25．解 等式兩邊對 求導得
，
等式兩邊對 求導得
，
所以
26．解 函數的定義域為：
，
令 得 ，令 得 ．
列表得
+ 0 － －
－ － 0 +
所以函數 的單調增加區間為 ，
函數 的單調減少區間為
為函數的極大值，
函數曲線的凸區間為 ，
函數曲線的凹區間為 ，
函數曲線的拐點為 ，
因為 ，
，
所以 為曲線 的水平漸近線，
為曲線 的鉛直漸近線．
27．解 畫出二重積分的積分區域D如圖所示：
（1）交換積分次序得
（2）
28．證 將已知等式化簡得：
，
等式兩邊對 求導得：
，
即 ，
令 得 ，
即 ．
本大綱適用于經濟學、管理學以及職業教育類、生物科學類、地理科學類、環境科學類、心理學類、藥學類等六個一級學科的考生。
總要求
考生應按本大綱的要求了解或理解“高等數學”中函數、極限和連續、一元函數微分學、一元函數積分學和多元函數微積分初步的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識結構及知識的內在聯系；應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地判斷和證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。
本大綱對內容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次；對方法和運算分為“會”、“掌握”和“熟練掌握”三個層次。
復習考試內容
一、函數、極限和連續
（一）函數
1．知識范圍
（1）函數的概念
函數的定義 函數的表示法 分段函數 隱函數
（2）函數的性質
單調性 奇偶性 有界性 周期性
（3）反函數
反函數的定義 反函數的圖像
（4）函數的四則運算與復合運算
（5）基本初等函數
冪函數 指數函數 對數函數 三角函數 反三角函數
（6）初等函數
2．要求
（1）理解函數的概念，會求函數的表達式、定義域及函數值。會求分段函數的定義域、函數值，會作出簡單的分段函數圖像。
（2）理解函數的單調性、奇偶件、有界性和周期性。
（3）了解函數 與其反函數 之間的關系（定義域、值域、圖像），會求單調函數的反函數。
（4）熟練掌握函數的四則運算與復合運算。
（5）掌握基本初等函數的性質及其圖像。
（6）了解初等函數的概念。
（7）會建立簡單實際問題的函數關系式。
（二）極限
1．知識范圍
（1）數列極限的概念
數列 數列極限的定義
（2）數列極限的性質
唯一性 有界性 四則運算法則 夾逼定理 單調有界數列極限存在定理
（3）函數極限的概念
函數在一點處極限的定義 左、右極限及其與極限的關系 趨于無窮 時函數的極限 函數極限的幾何意義
（4）函數極限的性質
唯一性 四則運算法則 夾逼定理
（5）無窮小量與無窮大量
無窮小量與無窮大量的定義 無窮小量與無窮大量的關系 無窮小量的性質 無窮小量的階
（6）兩個重要極限
2．要求
（1）了解極限的概念（對極限定義中“ ”、“ ”、“ ”的描述不作要求）。掌握函數在一點處的左極限與右極限，以及函數在一點處極限存在的充分必要條件。
（2）了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。
（3）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會用等價無窮小量代換求極限。
（4）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。
（三）連續
1．知識范圍
（1）函數連續的概念
函數在一點處連續的定義 左連續與右連續 函數在一點處連續的充分必要條件 函數的間斷點及其分類
（2）函數在一點處連續的性質
四則運算連續性 復合函數連續性
（3）閉區間上連續函數的性質
有界性定理 最大值與最小值定理 介值定理（包括零點定理）
（4）初等函數的連續性
2．要求
（1）理解函數在一點處連續與間斷的概念，理解函數在一點處連續與極限存在之間的關系，掌握判斷函數（含分段函數）在一點處的連續性的方法。
（2）會求函數的間斷點及確定其類型。
（3）掌握在閉區間上連續函數的性質，會用它們證明一些簡單命題。
（4）理解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數連續性求極限。
二、一元函數微分學
（一）導數與微分
1．知識范圍
（1）導數概念
導數的定義 左導數與右導數 函數在一點處可導的充分必要條件
導數的幾何意義 可導與連續的關系
（2）導數的四則運算法則與導數的基本公式
（3）求導方法
復合函數的求導法 隱函數的求導法 對數求導法
（4）高階導數
高階導數的定義 高階導數的計算
（5）微分
微分的定義 微分與導數的關系 微分法則 一階微分形式不變性
2．要求
（1）理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關系，會用定義求函數在一點處的導數。
（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。
（3）熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法。
（4）掌握隱函數求導法與對數求導法。會求分段函數的導數。
（5）了解高階導數的概念，會求函數的高階導數。
（6）理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數的一階微分。
（二）中值定理及導數的應用
1．知識范圍
（1）中值定理
羅爾（Rolle）中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理
（2）洛必達（L’Hospital）法則
（3）函數增減性的判定法
（4）函數的極值與極值點 最大值與最小值
（5）曲線的凹凸性、拐點
（6）曲線的水平漸近線與鉛直漸近線
2．要求
（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理（知道它們的條件、結論及其幾何意義）。
（2）熟練掌握用洛必達法則求“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”型未定式的極限的方法。
（3）掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區間的方法，會利用函數的增減性證明簡單的不等式。
（4）理解函數極值的概念。掌握求函數的極值、最大值與最小值的方法，會解簡單的應用問題。
（5）會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。
（6）會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線。
（7）會作函數的圖形。
三、一元函數積分學
（一）不定積分
1．知識范圍
（1）不定積分
原函數與不定積分的定義 不定積分的性質
（2）基本積分公式
（3）換元積分法
第一換元法（湊微分法） 第二換元法
（4）分部積分法
（5）一些簡單有理函數的積分
2．要求
（1）理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質。
（2）熟練掌握不定積分的基本公式。
（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡單的根式代換）。
（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。
（5）掌握簡單有理函數不定積分的計算。
（二）定積分
1．知識范圍
（1）定積分的概念
定積分的定義及其幾何意義 可積條件
（2）定積分的性質
（3）定積分的計算
變上限的定積分 牛頓—萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式 換元積分法
分部積分法
（4）無窮區間的廣義積分
收斂 發散 計算方法
（5）定積分的應用
平面圖形的面積 旋轉體的體積
2．要求
（1）理解定積分的概念及其幾何意義，了解可積的條件。
（2）掌握定積分的基本性質。
（3）理解變上限的定積分是變上限的函數，掌握對變上限定積分求導數的方法。
（4）熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。
（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
（6）理解無窮區間的廣義積分的概念，掌握其計算方法。
（7）掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成旋轉體的體積。
四、多元函數微積分初步
1．知識范圍
（1）多元函數
多元函數的定義 二元函數的定義域 二元函數的幾何意義
（2）二元函數的極限與連續的概念。
（3）偏導數與全微分
一階偏導數 二階偏導數 全微分
（4）復合函數的偏導數 隱函數的偏導數
（5）二元函數的無條件極限
（6）二重積分
二重積分的概念 二重積分的性質 直角坐標系下的二重積分計算
2．要求
（1）了解多元函數的概念、會求二元函數的定義域，了解二元函數的幾何意義。
（2）了解二元函數的極限與連續的概念。
（3）理解二元函數的一階偏導數和全微分的概念，掌握二元函數的一階偏導數的求法。掌握二元函數的二階偏導數的求法，掌握二元函數全微分的求法。
（4）掌握復合函數與隱函數的一階偏導數的求法。
（5）會求二元函數的無條件極值。
（6）理解二重積分的概念，掌握二重積分的性質，熟練掌握直角坐標系下的二重積分的計算方式。
考試形式及試卷結構
試卷總分：150分
考試時間：150分鐘
考試方式：閉卷，筆試
試卷內容比例：
函數、極限和連續 約20%
一元函數微分學 約30%
一元函數積分學 約30%
多元函數微積分初步 約20%
試卷題型比例：
選擇題 約15%
填空題 約25%
解答題 約60%
試題難易比例：
容易題 約30%
中等難度題 約50%
較難題 約20%
樣 卷
全國各類成人高等學校招生統一考試
�？破瘘c升本科高等數學（二）試卷
考生注意：根據國標要求，試卷中正切函數、余切函數、反正切函數和反余切函數分別用 表示。
一、 選擇題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個選項
中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內。
1．設函數 在 處連續，則 等于（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
2．下列函數中在 處可導的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函數 在 內是（ ）
A．單調增加 B．單調減少
C．不單調 D．不連續
4．設函數 在區間 內滿足 且 ，則函數在此區間內是（ ）
A．單調減少且凹的 B．單調減少且凸的
C．單調增加且凹的 D．單調增加且凸的
5．設函數 ，則 等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共10個小題，10個空，每空4分，共40分。把答案填在題中橫線上。
6． = ．
7．設函數 ，則 ．
8．設函數 ，則 ．
9．曲線 的拐點坐標是 ．
10．設函數 的 ，則 ．
11．若 ，則 ．
12．設 ，則 ．
13．不定積分 ，則 ．
14．若 ，則 ．
15．若積分區域D是由 圍成的矩形區域，則
．
三、解答題：本大題共13個小題，共90分，解答應寫出推理、演算步驟。
16．（本題滿分6分）
計算 ．
17．（本題滿分6分）
求極限 ．
18．（本題滿分6分）
求極限 ．
19．（本題滿分6分）
設函數 ，其中 可導，求 ．
20．（本題滿分6分）
設函數 ，求 ．
21．（本題滿分6分）
設函數 由方程 確定，試求 ．
22．（本題滿分6分）
計算 ．
23．（本題滿分6分）
計算 ．
24．（本題滿分6分）
計算 ．
25．（本題滿分6分）
設函數 ，求 ．
26．（本題滿分10分）
求函數 的單調區間、極值及此函數曲線的凹凸區間和拐點，水平與鉛
直漸近線．
27．（本題滿分10分）
設
（1）交換二次積分次序，
（2）計算I的值．
28．（本題滿分10分）
已知 ，
證明： ．
參考答案
一、選擇題
1．D 2．B 3．A 4．D 5．B
二、填空題
6． 7． 8． D．
10．2 11． 12．
13． 14． 15．
三、解答題
16．解
．
17．解
．
18．解
19．解 ．
20．解 對等式兩邊取對數得
，
等式兩邊對 求導得
所以
21．解 等式兩邊對 求導得
，
所以 ．
22．解
23．解 設 ，則 ，
所以
．
24．解
25．解 等式兩邊對 求導得
，
等式兩邊對 求導得
，
所以
26．解 函數的定義域為：
，
令 得 ，令 得 ．
列表得
+ 0 － －
－ － 0 +
所以函數 的單調增加區間為 ，
函數 的單調減少區間為
為函數的極大值，
函數曲線的凸區間為 ，
函數曲線的凹區間為 ，
函數曲線的拐點為 ，
因為 ，
，
所以 為曲線 的水平漸近線，
為曲線 的鉛直漸近線．
27．解 畫出二重積分的積分區域D如圖所示：
（1）交換積分次序得
（2）
28．證 將已知等式化簡得：
，
等式兩邊對 求導得：
，
即 ，
令 得 ，
即 ．
